认知基底的演化

楔子：“说中了”，究竟说明什么

读一份星座或性格分析时，你也许有过这样的瞬间：“这不就是我吗？”假如旁边的人读到同一段话，也觉得写的是自己，这份分析究竟看透了谁？

心理学家福勒（Bertram Forer）做过一次课堂演示：39 名学生测验后，各自收到写着自己名字的性格描述。大多数人评价很高，内容却完全相同。Forer，1949 “我符合这段话”，还没有证明“它能把我和别人区分开”。

“中医有没有用”的争论，也常把几件事挤在一起：某种方法是否奏效、解释是否成立、还能用到哪些情况。确认一项疗效，并不能顺带证成整套解释。NCCIH，2019 古代钦天监既推算日月食，也承担吉凶占候；即便一次日食算准，也不能替人间祸福的预言作担保。《明史》卷七十四 一处的成功，究竟能支持到哪一层？

本文关注的是一条具体推断：观察到了什么，由此判断了什么，这一步凭什么成立？ 体系的复杂程度也要放到这里看。一套语法能写出无数故事，不会使故事都成为事实。表达能力越强，越需要分清：它能讲出多少种解释，现实又排除了其中哪些。

本文尝试借代数来拆开这些问题。想象画图：选定几个基本方向，它们的线性组合能到达哪里？这个范围就是它们张成的空间。在线性代数中，一组向量若能张成指定空间，且没有哪个能由其余向量线性组合得到，就称为该空间的基。后一个条件叫作线性无关。这里借用的直觉是：我们选了哪些基本区别，又能凭它们辨认多少事情？

从一条推断的成败，进一步追问人如何改变辨认世界的方法，本文提出一个更大的研究纲领：

人类思想史从根本上说是一部基底演化史：人类不断寻求更加正交（可分离）、更加完备，并能够以越来越高的分辨率张成经验宇宙的坐标系统。

“基底”在认识论中借指辨认世界的基本区分。“更正交”借指判断可分别检查，“更完备”指容纳遗漏的方面，“更高分辨率”指区分细到足以回答问题。严格的数学基已经张成指定空间，这里的“更完备”则指可处理的现象与问题有所扩展；这些说法借助数学建立认识论类比。

下面先从具体判断入手，看哪些困难要求我们拆开旧联系、补充新区别，或者换一种表示。由此建立的分析工具，将帮助我们追踪这些改变怎样发生；它们能在多大程度上解释思想史，则要由历史比较来检验。

摘要与关键词

摘要

本文以具体推断为单位，分析局部经验、解释歧义、表示与信息的缺口，以及表示的使用成本。“复合经验坐标”让一个入口同时调用多条联系，便于记忆和行动，也可能使一处的成功替其他联系作担保。知识改进既可能改变基本区分，也可能改变使用、检验与修正这些区分的规则。道路思想实验、代数模型与布莱克史例分别说明这些变化的可能性、约束与操作形式；它们共同构成一套有待具体历史研究检验的分析视角。

关键词： 复合经验坐标；局部拟合；解释歧义；表示不完备；科学表征

一、把经验打包：一个名字为什么能带出一整套判断

设想一位山路向导。“雨季难行”四个字，就能提醒人们推迟出发、另选路线或多带补给。它打包了时令、积水、打滑等经验，使用者不必每次查明全部原因，也能作出不错的选择。后来，道路加固，排水改善，雨季照常到来，路却未必难走。过去的本领是真实的，旧标签现在也可能误导行动。

我们把这类入口称为复合经验坐标：一个词、类别或图式，同时调用若干属性、情境与行动建议。分析它时，还要追问：什么变化会使这条推断需要重审？

这里要分清两层：用什么区分世界，以及怎样使用和修正这些区分。 前者是本文借称的“基底”，后者决定哪些推断得到许可、遇到反例后怎样调整。规则改变可以推动区分被拆分或补充，也可能在区分尚未改变时先改善判断；并非每次知识改进都已经换了一组基。

古典知识中，可以看到更大规模的打包。《素问·阴阳应象大论》把方位、气候、味、脏与情志编织进对应序列。“木”牵连的不只是一种材料，还包括东方、风、酸、肝和怒。原文

图 1

图 1｜一个类别，连接多个领域。据《阴阳应象大论》对应段整理，仅列部分项目。同列表示文本将这些事项相联，不表示每条联系都已经过经验检验；“脏”等术语沿用原典语境。原文的生、伤、胜等关系未在图中展开。

这张图如同一份便携索引，但放在同一列，不等于已经证明可以彼此推断。联系可能来自观察，也可能来自象征、类比与宇宙论安排。一个类别实际被用来推出什么，仍要逐条检查。

名称少，也不意味着知识简单。名称能调用例证、操作与熟练判断；古典传统内部同样有细分，例如古希腊医学家盖伦就区分了混合中各体液的量与作用强度。盖伦注释，第 60—66 页有限记忆使压缩很有价值，省略细节的规则也可能适应具体任务。Simon, 1956

下面先检查三类边界：经验覆盖的范围不够广、不同解释分不开，以及表示缺少所需区别。 然后再问：发现边界之后，一条联系能否单独失去效力？这些困难也会出现在现代模型中。

二、局部拟合：能画出曲线，是否就懂了它

“刻舟求剑”里，人记住了剑落下时在船边的位置，等船停了再去找。刻痕还在，船却已经走了。《吕氏春秋·察今》 刻痕保住了船上的位置，却没有保住它与落剑处的关系。 刻得更精细，也补不上这个变化。

本地表现很好，为什么仍不能担保远处

经验规则也依赖条件。走同一条路一千遍，与走过一千条不同的路，增加的是不同的知识。经验更多，不等于经历过的条件更多。 地点、材料或操作改变后，旧关系还能不能成立，需要新的根据。Peters 等，2016

仅凭熟悉区域里的表现，能不能选出唯一规则？假定我们只熟悉条件 $s$ 接近零的一小段范围，考虑

f_1(s)=s,\qquad f_2(s)=s+0.2s^3.

在 $|s|\leq 0.5$ 时，两者相差不超过 $0.025$ ，观察若不够精细，就可能分不出它们。到了 $s=2$ ，一个给出 $2$ ，另一个给出 $3.6$ 。本地的吻合，没有决定远处的答案。

图 2

图 2｜局部相似，远处可以不同。曲线按正文函数绘制，绿色阴影为假定的熟悉区域。这里没有拟合历史数据，也不指定哪条曲线是真实规律。图示说明：局部证据若不足以排除不同规则，就不能仅凭当地成功担保外推。

这与过拟合还不一样：规则可能准确捕获了本地规律，只是换环境后失效；过拟合则连样本特有的细节也学进去，在相近条件的新案例上仍可能表现变差。扩大模型可以让训练数据拟合得更好，却不自动保证预测更准。Goodfellow 等，第 5.2 节

画法足够灵活，意味着什么

拟合像用一套可调整的画法贴近观测点。可用的“笔画”与组合方式，决定哪些形状容易画。“基”的线性组合是一种画法；可改变的构件、非线性运算和多层组合，还能形成别的模型族。

只要横坐标互不相同，任意有限个观测点，都能被某个足够高次的多项式精确穿过，含噪声的点也一样。拟合成功，可能说明画法足够灵活，尚不足以证明它找到了现象的成因。 模型容量说明它有多大的调整余地；新条件下的检验，才继续追问这样的吻合能维持到哪里。

数学说明｜穿过数据与增加容量，分别保证什么

穿过有限数据。

给定 $n$ 个横坐标两两不同的点 $(s_i,q_i)$ ，定义

\ell_i(s)=\prod_{j\ne i}\frac{s-s_j}{s_i-s_j},\qquad p(s)=\sum_{i=1}^{n}q_i\ell_i(s).

由于 $\ell_i(s_j)$ 在 $i=j$ 时为 $1$ 、否则为 $0$ ，就有 $p(s_i)=q_i$ ，且 $p$ 的次数至多为 $n-1$ 。它只保证穿过这些点，不保证点间或区间外正确，更不证明任何固定的低维模型都能做到。

增加模型容量。 若两个模型族满足 $\mathcal F\subseteq\mathcal G$ ，在同一批数据上，以相同损失定义的经验误差 $\widehat L$ 满足

\inf_{f\in\mathcal G}\widehat L(f) \leq\inf_{f\in\mathcal F}\widehat L(f).

原因只是旧的候选仍在新的集合中。该式比较训练误差的下确界，不要求存在取得该值的模型；实际优化未必接近它，样本外表现也没有由此获得保证。若只增加类别名称，却没有扩大模型所能实现的函数集合，连这个结论的前提都未满足。

三、解释歧义：两根指针一起动，贡献该算给谁

一位向导认为路难走主要看雨量，另一位认为积水更关键。如果过去总是雨越多、积水越深，两个人就可能都判断得很好。再给一百份同样的记录，能分出谁更有道理吗？

设 $u,v$ 是两项已选定单位的观测量， $q$ 是预测结果， $a,b$ 是权重：

q=a u+b v.

若全部样本满足 $v=u$ ，且至少有一例 $u\ne 0$ ，模型便只剩 $q=(a+b)u$ 。假定记录的结果恰为 $q=2u$ ，权重取 $(2,0)$ 、 $(1,1)$ 或 $(0,2)$ 都合适：只要 $a+b=2$ ，拟合就同样好。

再增加满足 $v=u$ 的样本，仍只能知道权重之和。到了 $u=1,v=0$ ，三个方案却分别预测 $2$ 、 $1$ 和 $0$ 。过去同样准确，到了新情境可以各说各话。

换坐标也不能补出这份证据：把旧记录改写成“和”与“差”，差值仍全是零。需要的是能让不同方案分岔的新比较。

把某项观测量在多次样本中的数值排成一列，就得到一个向量。图 3 把两列向量各自缩放到长度 1，只比较它们的方向关系：

图 3

图 3｜方向不正交，系数仍可唯一确定。箭头表示样本矩阵两列归一后的方向。依次为：斜交但线性无关，系数仍唯一；接近共线，系数可能敏感；完全重合，对应正文两列相等的特例，只能识别权重之和。这里讨论固定线性模型的系数识别；唯一系数本身不等于因果解释。

方向不成直角，并不自动造成不唯一；完全共线才造成例子中的不唯一，接近共线则可能使估计不稳定。冗余也可能帮助抗误差与重建：恢复对象，与用唯一系数表示对象，是不同问题。Kovačević 与 Chebira, 2008

在经验判断中，风险常出在下一步：未经检查，就让“过去一起出现”替“换条件也必定一起成立”作担保。本文称之为推断的过度绑定。证据不足不等于联系已被证明为假；过度之处，是让它回答证据还回答不了的问题。

代数说明｜为什么增加同类样本仍不能分开权重

把两列观测写成矩阵 $A=[\mathbf u\ \mathbf v]$ 。当 $\mathbf v=\mathbf u\ne 0$ 时，矩阵的秩为 $1$ ，而不是 $2$ 。对任意实数 $\lambda$ ，

A\begin{pmatrix}a+\lambda\\b-\lambda\end{pmatrix} =A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}.

沿 $(1,-1)$ 方向改变系数，预测保持不变，当前数据因而无法区分这些系数。图 3 的“系数唯一”指在给定两列线性无关时，线性最小二乘解唯一；若目标位于它们张成的空间内，精确表示也唯一。

四、表示不完备：地图上究竟少了什么

地图上两段路一样长，走起来却一段轻松、一段气喘。若只记平面位置，不记海拔，把坐标多写几位小数也找不出陡坡。这里有两种需要分开的缺口：表达形式到不了目标，或者记录没有留下所需区别。

先看表达范围。只允许水平方向 $(1,0)$ 时，无论怎样调整权重 $c$ ，都只能到达 $(c,0)$ 。目标 $y=(2,1)$ 却还要向上一格；旧模型的最近点是 $(2,0)$ ，始终留下一格缺口。

图 4

图 4｜调权重与加方向，是两种不同的改进。旧模型的可表示范围是一整条水平直线；目标到直线的距离，是它无法消除的残差。加入与水平方向不共线的新方向后，二维空间才可被张成，图中选竖直方向以便阅读。这是明确的欧氏模型，不是历史概念的实测几何。

表达受限未必是缺观察。例如完整记下了 $x$ ，却只允许用直线 $a+bx$ 描述 $x^2$ ；只要有至少三个不同的 $x$ ，就不可能全部吻合。加入由旧记录算出的 $x^2$ 即可解决，无须新观察。新增表达能力，与新增信息，可以是两回事。

几何说明｜固定的表达范围，怎样限定最小误差

在有限维欧氏空间中，把可用方向写成矩阵 $\Phi$ 的列。所有线性组合构成子空间 $S=\operatorname{span}(\Phi)$ 。目标 $y$ 分解为它在 $S$ 上的正交投影与垂直残差：

y=P_Sy+r,\qquad r\perp S.

对任意系数 $c$ ，由于 $P_Sy-\Phi c$ 位于 $S$ 内，勾股关系给出

\|y-\Phi c\|_2^2 =\|P_Sy-\Phi c\|_2^2+\|r\|_2^2.

第一项非负，又能通过适当系数取零，因此

\min_c\|y-\Phi c\|_2=\|r\|_2.

只要可表示范围不变，调参就无法把误差压到残差长度以下。这是对模型形式的限制，不是对全部可用信息的判决。现实残差还可能来自噪声、测量偏差或操作失误，需要另外辨认。

从现场到笔记：不同的事情，怎样变成同一份记录

再看记录的损失。门外有人敲门：录音能留下次数与节奏，却未必有衣服颜色的线索；拍到来人的无声视频能留下颜色，却没录下声音。二者选择了现场的不同方面。

听完录音，我们又可能只记“有人敲门”。敲三下、五下，都写成同一句话。次数原先听得见，现在从笔记里消失了：

x\xrightarrow{\;O\;}y\xrightarrow{\;E\;}z\xrightarrow{\;g\;}\widehat t.

$x$ 是情境， $O$ 决定观察到什么，得到记录 $y$ ； $E$ 把记录编码为 $z$ ； $g$ 再据此估计我们关心的目标 $t(x)$ ，例如敲门次数，输出 $\widehat t$ 。没观察到，与观察过却没留下，是两个不同的信息损失环节。

图 5

图 5｜有损之处，在于不同情境被合并。为看清结构，示意只追踪衣色与次数，声音记录只保留次数。四种现场变成两种记录，再变成同一句笔记；反向看，笔记对应多个可能的来处。它不是完整现场或录音的声学模型。

为什么不能算回来？因为同一份笔记可以来自三下，也可以来自五下。无论猜哪一个，都不能保证正确：仅凭这份记录，无法确定原来是哪种情境。 原录音还在就能补查；仅靠这句笔记则不能保证还原。

这就是有损：原本不同的情况被合并。但压缩、降维未必有损——若已知两列始终完全相同，只存一列仍能恢复两列。关键是能否唯一确定所需内容。Singh，2015，第 16 讲

十二小时钟面也很直观： $3\bmod12=15\bmod12=3$ 。取模舍去了整圈数，保留圈内位置，把某些差异直接规定为“不再区分”。所有相差整圈的时刻被归为同一类，称为一个等价类。

常识能帮我们猜，却补回了什么

若知道来访者通常敲三下，我们就能猜得更准。但这份根据来自背景经验，没有证明这一次也如此。背景知识还可能提供确定的约束：如果它排除了其余候选，恢复可以是确定推断；只要答案不同的候选仍在，合理补全就不保证等于原事实。

限制始终针对全部可用信息和当前任务。若只问有没有人敲门，笔记已经够用；若问次数或衣色，它才不够。对整个情境有损，不等于对每个任务都无用。

一般说明｜什么时候能恢复，什么时候留下不可消除的歧义

先固定观察与编码规则，把允许的情境写成 $\mathcal X$ 。完整链条为

x\in\mathcal X\xrightarrow{\;O\;}y\in\mathcal Y \xrightarrow{\;E\;}z\in\mathcal Z\xrightarrow{\;g\;}\widehat t.

令 $R=E\circ O$ 。给定表示 $z$ ，与它相容的情境构成原像集合

R^{-1}(\{z\})=\{x\in\mathcal X:R(x)=z\}.

这里的 $R^{-1}(\{z\})$ 表示集合，不是假定存在逆函数。若集合中有两个不同情境，就无法仅凭 $z$ 唯一恢复整个 $x$ ；要在全部允许情境上精确恢复 $x$ ，需要 $R$ 为单射。一般映射的歧义由这些原像集合描述；在线性正交投影中，被舍去的分量位于投影子空间的正交补空间。对整数 $A,B$ 和正整数 $m$ ，取余 $R(A)=A\bmod m$ 时， $R(A)=R(B)$ 恰好等价于 $m$ 整除 $A-B$ ；余数唯一，原整数并不唯一。

若只需回答目标 $t(x)$ ，条件可以更弱：存在处处正确的规则 $g$ ，使 $t=g\circ R$ ，当且仅当

R(x_1)=R(x_2)\ \Longrightarrow\ t(x_1)=t(x_2) \qquad\text{对所有 }x_1,x_2\in\mathcal X.

必要性来自同一输入只能得到同一答案；充分性则是给每个原像集合指定其中共同的目标值。因而，不能恢复整个情境，不妨碍特定目标仍然可确定。此处讨论确定性映射与精确恢复。

如果同一表示下仍有不同的目标值，就能给预测误差划出一道下限。设目标取值于度量空间 $(\mathcal T,d)$ ，且

R(x_1)=R(x_2)=z,\qquad d\bigl(t(x_1),t(x_2)\bigr)=\Delta>0.

三角不等式给出

\Delta\leq d\bigl(t(x_1),g(z)\bigr)+d\bigl(g(z),t(x_2)\bigr),

所以至少一项误差不小于 $\Delta/2$ ：

\max_{i\in\{1,2\}}d\bigl(g(z),t(x_i)\bigr)\geq\frac{\Delta}{2}.

这不是平均错误率，而是固定信息条件下、确定性预测的两点最坏误差下界。背景知识若已固定在规则中，不会单凭换一种猜法消除该下界；若新增信息或有根据地排除某个情境，前提才发生改变。近似相同的表示、噪声与概率预测需要另加假设，不能直接套用此式。

表达范围限制“允许怎样作答”，信息损失限制“凭什么区分”。认清缺口，才能决定该改模型、补观察，还是改进记录。

延伸阅读｜亲历与训练，能改变我们看见什么吗

改变看见的方式，能带来什么

向天生失明的人解释颜色，是要让他知道什么东西是红的，还是获得看见红色的感受？目标不同，所需认识也不同。研究发现，先天盲人能掌握丰富的颜色知识，并在一些颜色推断上与明眼人相近；这不等于研究已经回答了第一人称视觉感受的问题。Kim 等，2021

佛教《沙门果经》把禅定训练与“天眼”之见相联，所述包括众生的死亡与再生。DN 2 这个教法把“怎样获得某种知见”放到中心；它提出的能力与所见是否可靠，仍是需要判断的问题。

沿用前面的观察—编码链条，新观察能力可能改变观察方式 $O$ ，学会辨认线索可能改变编码方式 $E$ ；练习还可能改变被观察的心理状态。判断认识是否因此增加，要问：哪些情况过去分不清，现在能分清了？亲历能提供体验材料，由它推断外部世界则还需根据。接纳新体验，不等于允许修正原有结论。 若一切反常都能归为“修得不够”，又无法区分修习不足与主张错误，新增体验也可能被用来保护既定答案。

五、允许修正：拆开判断，再重建联系

即使信息相同，面对失败也可能走上不同的路。两位向导都熟悉“雨季难行”：道路改造后，一位保留过去的记录，撤回“雨季必难行”，重新检查排水；另一位不断追加“特殊雨季”“隐性难行”，使任何结果都符合旧说法。关键在于：一条联系能否被单独重审，而不必把其他经验一起抹去。

“排水改善”若能另行查明，并带来新的预测，就是有内容的修正。修正也可以是缩小适用范围、降低可信程度；一次不符未必足以撤回解释。但若任何结果都只能成为旧说法的例证，证据便失去了改变判断的机会。Popper, 1959，第 22 节

怎样让“分别检查”成为实际操作？18 世纪，约瑟夫·布莱克研究一种叫“白镁土”的白色粉末。它遇酸会冒泡，也能生成盐；充分加热后，冒泡消失了，却仍能与相应的酸形成相应种类的盐。原先一起出现的两种表现，现在分开了。 这种高温处理称为“煅烧”；这里的“盐”是一类化学产物，并非专指食盐。Black，第一部分，第 14—15 页

图 6

图 6｜保留了什么，改变了什么？据布莱克第一部分实验作概念示意，并非原器具复原。材料先接受不同处理，再分别与相应的酸比较。“相应种类的盐”不表示所有酸都产生同一种盐。起泡消失时，形成相应种类盐的能力仍然存在。

消失的性质还能恢复吗？ 布莱克先称量，发现煅烧使材料明显变轻。他把煅烧后的材料溶于酸，再加入实验所用的碱，使粉末重新沉淀出来。沉淀遇酸又能起泡，大部分失去的重量也回来了。他以“固定空气”——能结合在材料中、又能释放的气体——解释这些变化，并推断恢复时它由所加的碱提供。Black，第 16—19 页

恢复与所加的碱有什么关系？ 在另一项实验中，他用已失去“固定空气”的苛性碱制取沉淀，沉淀遇酸不再起泡。新解释因而多了一项必须说明的差别：制得沉淀并不保证恢复起泡，所加碱的性质也须纳入解释。成盐、起泡、失重与恢复，也就能在这些比较中分别追踪、重新联系。Black，第 30—31、35 页

本文把这种机会称为认识操作的可分离性：几项判断可以分别检查、分别修正，即使仍共用仪器与背景假设。它不保证证据总能唯一指定该撤回哪条联系；必要时，共同假设也要重审。布莱克的比较展示了检验机会怎样增加：分别改变处理与试剂，追踪哪些表现随之改变。回到向导的例子，这种思路就是保留已经查明的路况记录，再检验“雨季”究竟能支持哪些通行判断。

分开判断，再查明它们如何相连。 本文借“更正交”指向这种检查机会。数学正交、统计独立与因果识别仍是不同概念；单纯换成正交坐标，也不会增加信息。

六、表示的选择：同样的信息，为什么用起来有难有易

答案也可能已经藏在记录里，只是很难看出。换一种写法，能不能让它显眼起来？

同样的信息，怎样让不同结构显眼

两个人记录圆周上的点：一人写横、纵坐标，另一人写到圆心的距离和方向角。以圆心为原点，同一个圆在前者的记录中满足 $u^2+v^2=4$ ，在后者那里只需 $r=2$ 。第二人一眼就能看到：距离这一栏始终相同。

图 7

图 7｜同一对象，不同的阅读入口。两图画的是同一欧氏平面中的同一个圆。极坐标满足

u=r\cos\theta

、

v=r\sin\theta

；对非原点，约定

r>0

与

0\le\theta<2\pi

后可与直角坐标互换。原点的角度不唯一。极坐标是一种非线性坐标表示，不是换成另一组固定的线性基。

信息等价，不等于理解和使用它的代价相同。 若改问与坐标轴平行的矩形边界，直角坐标又可能更直接。

选择表示，就是选择哪些区别显眼、怎样提取和组合它们。完整换基本身不等于有损投影；再舍弃部分坐标，才可能抹掉区别。严格的投影还须说明投向哪个子空间、按什么规则确定结果。

都能逼近，为什么有的表示更省力

同一个目标也可以有很不同的表达代价。对已知周期变化 $f(s)=\sin s$ ，零点附近的三次泰勒截断为

T_3(s)=s-\frac{s^3}{6}.

加到九次项，得到用了五个非零项的 $T_9$ ，它在图示区间内已贴得很近；用包含 $\sin s$ 的标准傅里叶函数族，则一个正弦项就能精确表示。

图 8

图 8｜能逼近与省力地逼近，是不同的能力。两幅图使用相同区间与纵轴尺度；曲线由明确公式生成，未拟合观测数据。这里比较的是给定表示中的非零项数，泰勒截断并非该次数下的最优多项式；“一个正弦项”也不等于计算机只需一次基本运算。

完备性关心最终是否够用，表示效率关心要付出多少代价。 哪套表示更省力，要看任务、精度，以及怎样计算成本。即使最终都能逼近目标，有限项数与精度下的成本仍可能差很多。这里比较的是给定构件的使用成本；发现该选哪些构件，还需要另付认识上的代价。

数学说明｜泰勒多项式为什么能逼近本例的正弦

泰勒展开用某一点的导数确定多项式，不等于任意的数据拟合。对本例的正弦函数，取非负整数 $m$ ；在 $|s|\le a$ 、 $a\ge 0$ 上，泰勒余项给出

\left|\sin s-\sum_{k=0}^{m}\frac{(-1)^k s^{2k+1}}{(2k+1)!}\right| \leq\frac{a^{2m+3}}{(2m+3)!}.

这里利用了紧随其后的偶数次系数为零。固定 $a$ 后，右侧随 $m$ 增大趋于零，因此这些截断在任意固定有界区间上一致逼近正弦函数。一般光滑函数未必等于自己的泰勒级数；不同函数族的“完备”也须指定函数空间与收敛标准。

两种表示也让人注意到不同结构：傅里叶系数突出频率成分，泰勒系数记录选定位置的函数值及各阶导数，突出局部变化；能否恢复整个函数，还取决于展开条件。

如果任务是辨认周期，按频率分解就有吸引力；有了这种表示，混在一起的周期又更容易被看出来。任务推动表示形成，表示让某些模式更容易被发现，新的问题再推动表示改变。任务与表示可以相互塑造；但一种表示的起源，不能单独证明它适用于新任务。

换一种排法，增加了什么

洗牌改变顺序，不会增加牌。把“降雨、积水、通行”三列记录连同表头重排，可能更方便看出关系，却没有增加一份观察。六种排法，也不是六份相互印证的证据。复杂的变换规则能整理可靠记录，也能编织未经验证的说法；内部运转顺畅，尚未决定它对现实是否正确。

代数延伸｜重排保留了什么

三列的六种重排在复合下构成一个置换群：接连重排仍是重排，可以保持原样，也可以撤销操作。这个例子让我们关注变换中保持不变的东西——各列观测及其对应关系。丢弃信息的编码通常不可逆，任意推演规则也未必构成群。

给方向起一个名字，不等于找到了同名的实体

“雨季难行”先概括经验，随后却可能被当作新情境必须符合的规则。名字帮助记忆，也可能使待检验的解释显得理所当然。一个名字背后的联系，可能来自反复观察，也可能来自象征或类比；使用它时，这些不同来历很容易被遗忘。

在神经网络中，表示与命名也会错位。网络能学习大量特征及多层非线性组合，不必先由人为每一步命名。其能力来自结构、数据与训练的配合，不能只归结为维数大。LeCun 等，2015 一个神经元可能参与多种特征，一种特征也可能分布于多个神经元；人给出的名称，未必与内部计算一一对应。Elhage 等，2022 已有研究能识别和干预部分特征与路径，但覆盖仍有限。Anthropic，2025

能有效计算、能用熟悉词语说明、能证明对应真实机制，是三个不同的成就。

七、基底演化：地图怎样变好，取决于要走什么路

这套视角要帮助我们选对下一步。面对一项判断，可以沿着下面的索引检查；几种困难可能同时存在。

眼前的困难	先检查什么	可以尝试的改进
熟悉条件下奏效，换条件就不确定	过去真正见过哪些条件	补充跨条件比较，检查关系何时稳定
几个因素总一起变，贡献分不开	是否有让它们分别变化的证据	寻找有区分力的比较；另查因果前提
信息已有，模型仍表达不了	限制来自模型的哪些规定	改变表示或允许的关系形式
不同情境变成了同一份记录	所需区别在哪一步消失	补观察、回查材料或改进记录
信息足够，使用起来却很费力	什么结构被表示方式遮住	换一种组织方式，比较使用成本
每个反例都能被重新命名	什么结果会使哪条判断改变	明确修正条件，保留有根据的观察，检验新解释

换个场景试试。园丁的“养得好”经验都来自温室，每次浇水又总伴随施肥，却没记日照。能否用到露天、水肥各起什么作用、日照是否关键，分别需要跨条件比较、分开变化和补充观察。若露天试用失败，可以保留温室中的成功记录，撤回“到哪里都有效”的推广，再检查不同日照下的结果。失败并不要求把过去全部抹掉，也不能靠改叫“特殊情况”就算得到了解释。

再回到地图：补上海拔，是增加方面；把“高、低”细化为高度差，是提高分辨率；让海拔不再替路况作答，是拆开判断。三者都可能有用，却仍要看任务与核验范围。找车站时，示意图可能比地形图更好用；省略的价值或代价，取决于所问的问题。Potochnik, 2017

更丰富的记录若能恢复旧记录，就保留了复用旧办法的可能；实际收益仍受取得、学习和使用信息的成本约束。像录音与无声视频那样的表示，还可能各自保留不同信息，无法按一条“更多”的尺度排序。

形式说明｜为什么保留旧信息，至少保留了旧策略

若新表示 $R_2$ 可通过映射 $h$ 恢复旧表示 $R_1$ ，即 $R_1=h\circ R_2$ ，任意旧策略 $g_1$ 都能被复用为 $g_2=g_1\circ h$ ，并给出相同输出：

g_2(R_2(x))=g_1(R_1(x)).

在任务和评价标准不变、允许复用这些策略且不计新增信息与计算成本时，新策略集合至少包含旧策略可实现的全部表现，因此最优表现不会更差。学习限制、测量误差与使用成本会影响现实收益。

人的记忆、时间和计算能力有限，这种“有界理性”帮助解释压缩为何有用；科学表征研究追问表示怎样支持关于对象的判断。Simon, 1956、Nguyen 与 Frigg, 2022 本文把这些问题连接起来：基本区分、推断联系和修正规则怎样配合，使人能在撤回一条联系时，保住其他有根据的判断。

从这里走向“基底演化”的历史研究，就要比较一次变化前后：哪些情况原来分不清，现在分清了？哪些判断原来绑在一起，现在能分别检查？这使哪些新问题有了可检验的答案？ 布莱克的实验提供了一个这样的切片。考察更多变化时，还要追踪仪器、材料、训练与制度怎样使这些改进成为可能。

开篇纲领进一步提出：这类重构在人类知识发展中具有基础性作用。要支持这一纲领，就需在可比较的任务中反复发现：重要进展确实依赖区分能力、检查机会或适用范围的改善；若重要进展主要来自同一程序执行得更熟练、成本更低，而这些方面并无系统变化，就应缩小这条纲领的解释范围。任务本身不同的转变，也要先说明比较标准，才能判断何处变得“更完备”。

保存真实经验与修正理论，因而可以同时进行：既不让一处成功担保全部解释，也不因一处失败抹去全部经验。

回到开篇那些“很准”的体系，现在可以多问一句：这次成功究竟排除了什么，又有什么结果能让我改变判断？

经验帮助我们走熟一条路。更可修正的知识，还要让我们知道：凭什么判断它能走，何时走不通，下一次该补画什么。

参考文献

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